123456789は3の倍数

123456789は3の倍数です。
それは
123456789÷3=41152263余り0
と計算してみればわかります。
でも、こんな計算しなくても3の倍数かどうかを確認する方法があることをつい先日ネット上にて知りました。

それは123456789の各桁を分解して
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
を計算してみること。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
次に45の各桁を分解して
4+5=9
9は3の倍数だから123456789も3の倍数ということになります。

どうしてこの解き方が成り立つのか、理屈は以下の通りです。

今、5桁の整数「あいうえお(あ～おはそれぞれ一桁の整数)」があるとしましょう（理屈は桁数がいくつになっても同じです）。
この際
あいうえお＝あ×10000＋い×1000＋う×100＋え×10＋お
と書くことができます。
この式は
（あ×9999＋い×999＋う×99＋え×9）＋あ＋い＋う＋え＋お
このとき、（ ）の中身は9の倍数であり3の倍数です。
なぜなら
（あ×9999＋い×999＋う×99＋え×9）＝9×（あ×1111＋い×111＋う×11＋え×1）
9×（あ×1111＋い×111＋う×11＋え×1）＝3×3×（あ×1111＋い×111＋う×11＋え×1）
だからです。
ということは、残りの
あ＋い＋う＋え＋お
が3の倍数であれば全体が3の倍数だということになります。
さらに言うと
あ＋い＋う＋え＋お
が9の倍数であれば全体が9の倍数です。

わたしはこの知識を知ったとき、かなり感動しました。
この感動を独り占めしてはもったいないと何人かに話してみました。
その中の多くの人に「そんなの知っているよ」という感じの反応をされました。
自分の中で当たり前じゃないことが他人の中ではけっこう当たり前なんですよね。
もっともっと勉強しなくては。